Cách Tính Diện Tích Tam Giác Đều: Tất Cả Các Công Thức, Ví Dụ & Ứng Dụng

Tính diện tích tam giác đều là một dạng toán quen thuộc và thường xuất hiện trong chương trình toán học các cấp. Trong bài viết dưới đây, Hoàng Hà Mobile sẽ hướng dẫn bạn cách tính diện tích tam giác đều và đường cao tam giác đều với các công thức chuẩn nhất. Mời bạn cùng tham khảo!

Trước khi đi vào các công thức tính diện tích tam giác đều, hãy cùng điểm lại các khái niệm và tính chất quan trọng của nó.

Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Tính chất:

• Ba góc trong của tam giác đều bằng nhau và mỗi góc đều bằng 60°.
• Trong tam giác đều, đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực ứng với một cạnh bất kỳ đều trùng nhau.
• Tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều trùng nhau và đó cũng là trọng tâm của tam giác.

Dấu hiệu nhận biết:

• Tam giác có 3 cạnh bằng nhau.
• Tam giác có 3 góc bằng nhau.
• Tam giác cân có một góc bằng 60°.

Công thức tính nhanh theo độ dài cạnh (Phổ biến nhất)

Đây là công thức hiệu quả và được sử dụng nhiều nhất khi bạn đã biết độ dài cạnh của tam giác đều.

S = (a²√3)/4

Trong đó:

• S là diện tích tam giác đều.
• a là độ dài một cạnh của tam giác đều.

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh dài 6cm. Tính diện tích.

Áp dụng công thức, ta có: S = (6²√3)/4 = (36√3)/4 = 9√3 (cm²).

Công thức này từ đâu mà có? (Chứng minh công thức)

Công thức tính nhanh ở trên được suy ra từ định lý Pytago. Việc hiểu rõ bản chất sẽ giúp bạn nhớ công thức lâu hơn.

Xét tam giác đều ABC có cạnh là a. Kẻ đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC. Vì trong tam giác đều, đường cao cũng là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC.
=> BH = HC = a/2.

Xét tam giác vuông AHB, áp dụng định lý Pytago:

AH² + BH² = AB²

=> AH² = AB² – BH² = a² – (a/2)² = a² – a²/4 = 3a²/4

=> AH = √(3a²/4) = (a√3)/2 (Đây cũng chính là công thức tính chiều cao tam giác đều!)

Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức cơ bản: S = ½ × đáy × chiều cao

=> S = ½ × BC × AH = ½ × a × (a√3)/2 = (a²√3)/4 (Điều phải chứng minh).

Sử dụng công thức Heron (khi biết 3 cạnh)

Công thức Heron có thể áp dụng cho mọi tam giác khi biết độ dài 3 cạnh. Với tam giác đều cạnh a, chu vi là 3a, nửa chu vi p = 3a/2.

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[(3a/2)(3a/2-a)(3a/2-a)(3a/2-a)] = √[(3a/2)(a/2)³] = √[3a⁴/16] = (a²√3)/4.

Sử dụng lượng giác (công thức sin)

Diện tích tam giác bằng 1/2 tích hai cạnh kề nhân với sin của góc xen giữa. Với tam giác đều, hai cạnh bất kỳ đều là a và góc xen giữa là 60°.

S = ½ × a × a × sin(60°) = ½ × a² × (√3/2) = (a²√3)/4.

Một số lưu ý cần biết để giải nhanh các bài toán tính diện tích tam giác

Để giải tốt các bài toán liên quan đến diện tích tam giác, bạn cần nắm rõ một số lưu ý sau:

Hiểu rõ tính chất của từng loại tam giác

Việc hiểu rõ tính chất giúp bạn dễ dàng nhận biết đó là loại tam giác nào, và nên áp dụng cách tính diện tích tam giác đều hay tam giác vuông… để tiết kiệm thời gian và công sức tính toán. Ngoài ra, đôi khi đề sẽ không cho đủ tất cả dữ liệu mà đòi hỏi người giải phải biết vận dụng đúng cách để đưa ra kết quả chính xác.

Kết hợp với định lý Pitago

Khi giải các bài toán liên quan đến tam giác vuông, bạn thường phải kết hợp với công thức Pitago để tìm những dữ kiện còn thiếu. Vậy nên, hãy xem xét đề và tự hỏi liệu định lý này có sử dụng được hay không để giải toán một cách nhanh chóng, dễ dàng nhất nhé!

Thường xuyên luyện đề

Để nắm rõ cách tính diện tích tam giác đều hay bất kỳ loại tam giác nào khác, bạn đều phải luyện tập đề thường xuyên. Qua quá trình luyện đề, bạn có thể nhận biết được những dạng đề thường gặp và rút ra phương pháp giải phù hợp, hiệu quả nhất. Dù bạn có giỏi toán hình hay không, chỉ cần bạn luôn chăm chỉ, chắc chắn rằng bạn sẽ giải được mọi dạng toán dù là nâng cao nhất. 

Ứng dụng thú vị của tam giác đều trong đời sống

Bạn có biết hình tam giác đều xuất hiện ở rất nhiều nơi xung quanh chúng ta không? Nhờ tính đối xứng và vững chắc, nó được ứng dụng rộng rãi:

• Kiến trúc & Xây dựng: Các kết cấu giàn, mái vòm, hay các cây cầu thường sử dụng các khung tam giác đều để phân bổ lực đều và tạo sự vững chãi (ví dụ: Tháp Eiffel).
• Thiên nhiên: Hình dạng của các tinh thể tuyết, cấu trúc của một số phân tử hóa học (như Graphene) hay cách con ong xây tổ ong đều mang hình dáng lục giác đều, được ghép bởi 6 tam giác đều.
• Thiết kế & Nghệ thuật: Nhiều logo thương hiệu, biển báo giao thông (biển cảnh báo nguy hiểm) hay các họa tiết trang trí sử dụng hình tam giác đều để tạo cảm giác cân bằng, mạnh mẽ.
• Đời sống hàng ngày: Khúc pizza khi được cắt từ tâm, giá đỡ sách, hay thậm chí là cách xếp những quả bi-a trong trò chơi pool.

Bài tập vận dụng (có lời giải)

Bài 1: Một biển báo giao thông hình tam giác đều có chu vi là 120cm. Tính diện tích của biển báo đó.

Lời giải:

Độ dài một cạnh của biển báo là: a = 120 / 3 = 40 (cm).

Diện tích của biển báo là: S = (40²√3)/4 = (1600√3)/4 = 400√3 (cm²).

Câu hỏi thường gặp

1. Làm thế nào để tính diện tích tam giác đều nếu chỉ biết chiều cao h?

Từ công thức h = (a√3)/2, ta suy ra a = (2h)/√3. Thay vào công thức diện tích, ta có: S = h²√3/3.

2. Tam giác đều có phải là tam giác cân không?

Có. Tam giác đều là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân, có cả 3 cạnh bằng nhau thay vì chỉ 2 cạnh.

Bên trên là cách tính diện tích tam giác đều và một số loại tam giác khác mà bạn có thể tham khảo. Hy vọng bài viết sẽ hữu ích và đừng quên chia sẻ để mọi người cùng đón đọc nhé!

Xem thêm:

• Tất cả điều bạn cần biết về diện tích bề mặt hình hộp chữ nhật
• Công thức cách tính diện tích và đường cao tam giác vuông