Công thức tính diện tích mặt cầu (siêu hay)

Công thức tính diện tích mặt cầu hay nhất sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tính diện tích mặt cầu (siêu hay)

1. Công thức tính diện tích mặt cầu

- Cho mặt cầu (S) có bán kính r.

Khi đó diện tích mặt cầu S = 4πr²

- Chú ý: Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

2. Một số ví dụ tính diện tích mặt cầu

Ví dụ 1. Tính diện tích mặt cầu (S) có bán kính là 3.

Lời giải:

Diện tích mặt cầu là  S= 4π3² = 36π

Ví dụ 2. Cho mặt cầu (S) tâm O có diện tích là S= 100π. Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi là 8π. Tính khoảng cách từ O tới (P).

Lời giải:

Diện tích mặt cầu (S) là: S= 4πr² =100π => r= 5

Bán kính của đường tròn thiết diện là

Suy ra d(O;(P)) = 

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.

Lời giải:

Gọi I và I’ lần lượt là trọng tâm của hai đáy lăng trụ. Suy ra I và I’ đồng thời cũng là tâm của 2 đường tròn ngoại tiếp các tam giác đáy. 

Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên II’ chính là trục của lăng trụ

Do đó tâm O của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên II’.

Kẻ đường trung trực d của AA’. Dễ thấy d cắt II’ tại trung điểm của II’

Vậy O là trung điểm của II’ => OI =

Ta có AI=  =>OA = 

Do đó diện tích mặt cầu 

Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Đường cao SO= 

Xác định tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD => I ∈ SO

Do I là tâm mặt cầu nội tiếp nên d(I,(ABCD)) =d(I,(SCD)) =r  tức là MI là phân giác của ∠SMO

Theo tính chất đường phân giác ta có tỉ số:

Ta có:

Suy ra  <=> 

Vậy mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu 

Diện tích mặt cầu là 

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tính thể tích khối cầu

• Công thức tính diện tích thiết diện hình nón

• Công thức tính diện tích hình nón cụt

• Công thức tính thể tích khối nón cụt

• Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ