Khái niệm và cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số (lí thuyết và bài tập)
Chính Sách Vận Chuyển Và Đổi Trả Hàng
Miễn phí vận chuyển mọi đơn hàng từ 500K
- Phí ship mặc trong nước 50K
- Thời gian nhận hàng 2-3 ngày trong tuần
- Giao hàng hỏa tốc trong 24h
- Hoàn trả hàng trong 30 ngày nếu không hài lòng
Mô tả sản phẩm
1) Hàm đa thức bậc ba \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \((a \ne 0)\):
Bước 1: Tìm đạo hàm cấp hai f’’(x).
Bước 2: Giải phương trình f’’(x) = 0. Giả sử nghiệm là \({x_0}\).
Bước 3: Kết luận tâm đối xứng có toạ độ \(\left( {{x_0};f({x_0})} \right)\).
Ví dụ minh hoạ:
a) Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\) có \(y'' = 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{\;}} - 1\).
Thay x = -1 vào phương trình, được \(y = {( - 1)^3} + 3{( - 1)^2} - 9( - 1) + 1 = 12\).
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;12).
b) Hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có \(y'' = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Thay x = 0 vào phương trình, được \(y = {0^3} - 3.0 + 1 = 1\).
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (0;1).
2) Hàm phân thức bậc nhất \(f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) \((c \ne 0)\):
Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = {x_0}\) và tiệm cận ngang \(y = {y_0}\) thì tâm đối xứng có toạ độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
Ví dụ minh hoạ:
a) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) có tiệm cận đứng là x = 3, tiệm cận ngang là y = 2.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (3;2).
b) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 1}}{{x - 2}}\) có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 4.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (2;4).
3) Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất \(f(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\) \((a,m \ne 0)\):
Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = {x_0}\) và tiệm cận xiên \(y = px + q\) thì tâm đối xứng có toạ độ \(\left( {{x_0};p{x_0} + q} \right)\).
Ví dụ minh hoạ:
a) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng là x = -1, tiệm cận xiên là y = x – 3.
Thay x = -1 vào y = x – 3, được y = -1 – 3 = -4.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;-4).
b) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}}\) có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = 3x + 4.
Thay x = 2 vào y = 3x + 4, được y = 3.2 + 4 = 10.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (2;10).