Cơ Năng Của Một Vật Dao Động Điều Hòa

Mô tả sản phẩm

Cơ năng là một khái niệm cơ bản trong vật lý, được định nghĩa là tổng của động năng và thế năng của một vật. Trong dao động điều hòa lý tưởng, không có ma sát hay lực cản của môi trường, cơ năng của hệ được bảo toàn. Điều này có nghĩa là động năng và thế năng chuyển hóa qua lại cho nhau nhưng tổng của chúng luôn không đổi. Để hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ phân tích từng thành phần của cơ năng trong dao động điều hòa.

1. Động Năng (K)
Động năng của một vật khối lượng 'm' chuyển động với vận tốc 'v' được tính bằng công thức:
K = 1/2 mv²
Trong dao động điều hòa, li độ của vật có thể được biểu diễn bằng phương trình: x = Acos(ωt + φ), trong đó A là biên độ, ω là tần số góc và φ là pha ban đầu.
Vận tốc của vật dao động điều hòa là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian:
v = dx/dt = -Aωsin(ωt + φ)
Thay biểu thức của 'v' vào công thức động năng, ta được:
K = 1/2 m [-Aωsin(ωt + φ)]²
K = 1/2 m A² ω² sin²(ωt + φ)
Từ biểu thức này, ta thấy động năng của vật biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc 2ω (gấp đôi tần số góc của dao động) và luôn không âm.
- Động năng đạt giá trị cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng (x = 0), vì tại đó vận tốc có độ lớn cực đại (|v| = Aω).
K_max = 1/2 m (Aω)² = 1/2 m A² ω²
- Động năng bằng 0 khi vật ở vị trí biên (x = ±A), vì tại đó vận tốc bằng 0.

2. Thế Năng (U)
Thế năng trong dao động điều hòa thường được xét cho con lắc lò xo lý tưởng, nơi lực đàn hồi là lực gây ra dao động. Thế năng đàn hồi của một lò xo có độ cứng 'k' khi bị biến dạng một đoạn 'x' so với vị trí cân bằng được tính bằng công thức:
U = 1/2 kx²
Thay biểu thức của 'x' trong dao động điều hòa vào công thức thế năng, ta được:
U = 1/2 k [Acos(ωt + φ)]²
U = 1/2 k A² cos²(ωt + φ)
Trong dao động điều hòa, có mối liên hệ giữa độ cứng lò xo 'k', khối lượng 'm' và tần số góc 'ω' là k = mω². Thay k = mω² vào biểu thức thế năng:
U = 1/2 mω² A² cos²(ωt + φ)
Tương tự như động năng, thế năng của vật cũng biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc 2ω và luôn không âm.
- Thế năng đạt giá trị cực đại khi vật ở vị trí biên (x = ±A), vì tại đó độ lớn của li độ là cực đại (|x| = A).
U_max = 1/2 k A² = 1/2 mω² A²
- Thế năng bằng 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng (x = 0), vì tại đó li độ bằng 0.

3. Cơ Năng (E)
Cơ năng của vật dao động điều hòa là tổng của động năng và thế năng:
E = K + U
Thay các biểu thức của K và U vào:
E = 1/2 m A² ω² sin²(ωt + φ) + 1/2 mω² A² cos²(ωt + φ)
E = 1/2 m A² ω² [sin²(ωt + φ) + cos²(ωt + φ)]
Vì sin²α + cos²α = 1, nên biểu thức cơ năng trở thành:
E = 1/2 m A² ω²
Hoặc, nếu thay mω² bằng k:
E = 1/2 k A²
Từ các công thức trên, ta thấy rằng cơ năng của một vật dao động điều hòa chỉ phụ thuộc vào khối lượng 'm' (hoặc độ cứng 'k'), tần số góc 'ω' và biên độ 'A'. Nó không phụ thuộc vào thời gian 't' hay pha ban đầu 'φ'. Điều này chứng tỏ cơ năng của hệ dao động điều hòa lý tưởng là một đại lượng được bảo toàn.

Sự Chuyển Hóa Năng Lượng và Bảo Toàn Cơ Năng
Trong quá trình dao động điều hòa, động năng và thế năng liên tục chuyển hóa qua lại cho nhau:
- Khi vật đi từ biên về vị trí cân bằng, vận tốc tăng lên, động năng tăng; li độ giảm, thế năng giảm. Thế năng chuyển hóa thành động năng.
- Khi vật đi từ vị trí cân bằng ra biên, vận tốc giảm, động năng giảm; li độ tăng, thế năng tăng. Động năng chuyển hóa thành thế năng.
- Tại vị trí cân bằng, thế năng bằng 0 và động năng đạt cực đại, bằng với toàn bộ cơ năng của hệ (E = K_max).
- Tại vị trí biên, động năng bằng 0 và thế năng đạt cực đại, bằng với toàn bộ cơ năng của hệ (E = U_max).
Tổng của động năng và thế năng tại mọi thời điểm luôn không đổi và bằng giá trị cơ năng cực đại. Điều này là minh chứng cho định luật bảo toàn cơ năng trong dao động điều hòa lý tưởng.

Tóm lại, cơ năng của một vật dao động điều hòa lý tưởng là một đại lượng không đổi và được bảo toàn. Nó phụ thuộc vào các thông số đặc trưng của hệ như khối lượng, độ cứng của lò xo và biên độ dao động. Sự chuyển hóa liên tục giữa động năng và thế năng là bản chất của dao động điều hòa, thể hiện một cách rõ ràng định luật bảo toàn năng lượng trong cơ học.