Đạo Hàm của Hàm Số 1/√x: Một Phân Tích Chi Tiết

Mô tả sản phẩm

Đạo hàm là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong giải tích, cho phép chúng ta nghiên cứu tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào việc tính đạo hàm của hàm số f(x) = 1/√x, một hàm số thường gặp trong nhiều lĩnh vực toán học và khoa học.

Đầu tiên, để tính đạo hàm của f(x) = 1/√x, cách tiếp cận hiệu quả nhất là chuyển đổi hàm số này về dạng lũy thừa. Chúng ta biết rằng căn bậc hai của x có thể được viết là x^1/2. Do đó, 1/√x có thể được biểu diễn lại thành 1/x^1/2. Theo quy tắc lũy thừa, 1/aⁿ = a^-n, vậy 1/x^1/2 = x^-1/2.

Bây giờ, chúng ta đã có hàm số dưới dạng f(x) = x^-1/2. Để tính đạo hàm của hàm số dạng lũy thừa xⁿ, chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm lũy thừa (Power Rule), phát biểu rằng d/dx(xⁿ) = nx^n-1. Trong trường hợp này, n = -1/2. Áp dụng quy tắc này, ta có:
f'(x) = d/dx(x^-1/2) = (-1/2) ⋅ x^{(-1/2 - 1)}
f'(x) = (-1/2) ⋅ x^{(-1/2 - 2/2)}
f'(x) = (-1/2) ⋅ x^-3/2

Tiếp theo, chúng ta sẽ đơn giản hóa kết quả về dạng quen thuộc hơn. Ta có x^-3/2 = 1/x^3/2. Hơn nữa, x^3/2 có thể được viết là x^{1 + 1/2} = x¹ ⋅ x^1/2 = x√x. Do đó, biểu thức đạo hàm trở thành:
f'(x) = -1/2 ⋅ 1/x^3/2 = -1/(2x√x)

Để đảm bảo sự hiểu biết toàn diện, chúng ta cũng có thể xem xét cách tính đạo hàm này bằng quy tắc chuỗi (Chain Rule), mặc dù quy tắc lũy thừa thường trực tiếp hơn. Đặt y = 1/u với u = √x. Khi đó, dy/du = -1/u². Và du/dx = d/dx(x^1/2) = (1/2)x^-1/2 = 1/(2√x). Áp dụng quy tắc chuỗi dy/dx = (dy/du) ⋅ (du/dx), ta có:
f'(x) = (-1/u²) ⋅ (1/(2√x))
Thay u = √x vào, ta được:
f'(x) = (-1/(√x)²) ⋅ (1/(2√x)) = (-1/x) ⋅ (1/(2√x)) = -1/(2x√x)
Kết quả này hoàn toàn nhất quán với phương pháp sử dụng quy tắc lũy thừa.

Một điểm quan trọng cần lưu ý là miền xác định của hàm số f(x) = 1/√x. Để √x có nghĩa, x phải lớn hơn hoặc bằng 0. Tuy nhiên, vì √x nằm ở mẫu số, √x không thể bằng 0, tức là x ≠ 0. Do đó, miền xác định của f(x) là x > 0. Đạo hàm f'(x) = -1/(2x√x) cũng chỉ xác định khi x > 0. Đạo hàm này cho chúng ta biết tốc độ thay đổi của hàm số f(x) tại bất kỳ điểm x dương nào, hay nói cách khác, nó là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó. Dấu âm của đạo hàm cho thấy rằng hàm số f(x) = 1/√x là một hàm giảm trên toàn bộ miền xác định của nó.

Tóm lại, việc tính đạo hàm của hàm số f(x) = 1/√x là một ví dụ tuyệt vời để áp dụng quy tắc đạo hàm lũy thừa và kỹ năng đơn giản hóa biểu thức. Chúng ta đã chứng minh rằng d/dx(1/√x) = -1/(2x√x) cho x > 0. Việc hiểu rõ quy trình này không chỉ giúp giải quyết các bài toán cụ thể mà còn củng cố nền tảng về đạo hàm và các quy tắc tính toán của nó.