Đạo Hàm của sin(2x): Một Phân Tích Chi Tiết

Mô tả sản phẩm

Đạo hàm là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số. Khi nghiên cứu các hàm lượng giác, việc tính toán đạo hàm của chúng là điều thiết yếu. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào việc tìm đạo hàm của hàm số sin(2x), một ví dụ điển hình về việc áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp (chain rule).

Để tìm đạo hàm của y = sin(2x), chúng ta cần nhớ lại quy tắc chuỗi. Quy tắc chuỗi được sử dụng khi chúng ta có một hàm số là "hàm của một hàm" (composite function), tức là một hàm f(g(x)). Công thức của quy tắc chuỗi là: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x).

Trong trường hợp của sin(2x):
1. Xác định hàm ngoài và hàm trong:
Chúng ta có thể xem sin(2x) như một hàm f(u) trong đó f(u) = sin(u) và hàm trong là u = g(x) = 2x.

2. Tính đạo hàm của hàm ngoài theo biến phụ:
Đạo hàm của f(u) = sin(u) theo u là f'(u) = d/du (sin(u)) = cos(u).

3. Tính đạo hàm của hàm trong theo biến độc lập:
Đạo hàm của u = 2x theo x là g'(x) = d/dx (2x) = 2.

4. Áp dụng quy tắc chuỗi:
Bây giờ, chúng ta kết hợp hai kết quả trên theo công thức của quy tắc chuỗi:
d/dx (sin(2x)) = f'(g(x)) * g'(x)
Thay f'(u) = cos(u) và u = 2x vào, ta có f'(g(x)) = cos(2x).
Sau đó, nhân với g'(x) = 2.
Vậy, d/dx (sin(2x)) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x).

Tóm lại, đạo hàm của hàm số sin(2x) là 2cos(2x). Việc hiểu và áp dụng quy tắc chuỗi không chỉ quan trọng cho các hàm lượng giác mà còn cho rất nhiều loại hàm hợp khác trong giải tích. Kỹ năng này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong khoa học, kỹ thuật và toán học ứng dụng.