Động năng và Thế năng trong Dao động Điều hòa

Mô tả sản phẩm

Trong dao động điều hòa, năng lượng của vật luôn được bảo toàn và chuyển hóa qua lại giữa hai dạng chính là động năng và thế năng. Một vật dao động điều hòa là một hệ thống lý tưởng mà trong đó, sự chuyển đổi năng lượng này diễn ra liên tục và theo một quy luật nhất định, làm nền tảng cho nhiều hiện tượng vật lý khác.

Giả sử một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc ω và khối lượng m. Lực phục hồi tác dụng lên vật là F = -kx, với k là độ cứng của lò xo (hoặc hằng số đàn hồi tương đương).

Phương trình li độ của vật có thể biểu diễn là x = A cos(ωt + φ).
Vận tốc của vật là v = dx/dt = -Aω sin(ωt + φ).

1. Thế năng (W_t hoặc E_p):
Thế năng của vật trong dao động điều hòa là năng lượng tích trữ do vị trí của nó so với vị trí cân bằng, được xác định bởi công thức:
W_t = 1/2 kx^2
Thay x = A cos(ωt + φ) vào, ta có:
W_t = 1/2 kA^2 cos^2(ωt + φ)
Vì k = mω^2, nên ta cũng có thể viết:
W_t = 1/2 mω^2 x^2 = 1/2 mω^2 A^2 cos^2(ωt + φ)

Thế năng đạt giá trị cực đại khi vật ở biên (x = ±A), lúc đó W_t_max = 1/2 kA^2.
Thế năng bằng 0 khi vật ở vị trí cân bằng (x = 0).

2. Động năng (W_đ hoặc E_k):
Động năng của vật là năng lượng mà vật có được do chuyển động của nó, được xác định bởi công thức:
W_đ = 1/2 mv^2
Thay v = -Aω sin(ωt + φ) vào, ta có:
W_đ = 1/2 m(-Aω sin(ωt + φ))^2
W_đ = 1/2 m A^2 ω^2 sin^2(ωt + φ)

Động năng đạt giá trị cực đại khi vật ở vị trí cân bằng (v = v_max = Aω), lúc đó W_đ_max = 1/2 m(Aω)^2 = 1/2 m A^2 ω^2.
Động năng bằng 0 khi vật ở biên (v = 0).

3. Cơ năng (E):
Cơ năng toàn phần của vật dao động điều hòa là tổng của động năng và thế năng:
E = W_đ + W_t
E = 1/2 m A^2 ω^2 sin^2(ωt + φ) + 1/2 kA^2 cos^2(ωt + φ)
Vì k = mω^2, ta có:
E = 1/2 m A^2 ω^2 sin^2(ωt + φ) + 1/2 m A^2 ω^2 cos^2(ωt + φ)
E = 1/2 m A^2 ω^2 (sin^2(ωt + φ) + cos^2(ωt + φ))
Vì sin^2α + cos^2α = 1, nên:
E = 1/2 m A^2 ω^2
Hoặc, E = 1/2 kA^2

Điều này chứng tỏ rằng, trong dao động điều hòa lý tưởng (không có ma sát hay lực cản), cơ năng toàn phần của vật luôn được bảo toàn và có giá trị không đổi, chỉ phụ thuộc vào khối lượng (hoặc độ cứng lò xo), tần số góc và biên độ dao động.

Mối quan hệ và sự chuyển hóa năng lượng:

• Tại vị trí cân bằng (x = 0, v = ±Aω): Thế năng bằng 0 (W_t = 0), động năng đạt cực đại (W_đ = 1/2 m(Aω)^2 = E). Toàn bộ năng lượng là động năng.
• Tại vị trí biên (x = ±A, v = 0): Động năng bằng 0 (W_đ = 0), thế năng đạt cực đại (W_t = 1/2 kA^2 = E). Toàn bộ năng lượng là thế năng.
• Tại các vị trí khác: Động năng và thế năng đều tồn tại và có giá trị khác 0. Khi vật di chuyển từ biên về vị trí cân bằng, thế năng giảm dần và chuyển hóa thành động năng, làm cho vật chuyển động nhanh dần. Ngược lại, khi vật di chuyển từ vị trí cân bằng ra biên, động năng giảm dần và chuyển hóa thành thế năng, làm cho vật chuyển động chậm dần.

Tần số của động năng và thế năng:
Quan sát công thức của W_đ và W_t, ta thấy chúng chứa các hàm sin^2(ωt + φ) và cos^2(ωt + φ). Sử dụng công thức hạ bậc, ta có:
cos^2α = (1 + cos(2α))/2
sin^2α = (1 - cos(2α))/2
Do đó, W_t = 1/2 kA^2 (1 + cos(2(ωt + φ))) / 2 = 1/4 kA^2 + 1/4 kA^2 cos(2ωt + 2φ)
Và W_đ = 1/2 m A^2 ω^2 (1 - cos(2(ωt + φ))) / 2 = 1/4 m A^2 ω^2 - 1/4 m A^2 ω^2 cos(2ωt + 2φ)
Như vậy, động năng và thế năng dao động điều hòa với tần số góc 2ω (tức là gấp đôi tần số góc của li độ và vận tốc). Chúng dao động ngược pha với nhau.

Kết luận:
Trong dao động điều hòa lý tưởng, động năng và thế năng liên tục chuyển hóa cho nhau. Khi một dạng năng lượng tăng, dạng kia giảm theo cách tương ứng để đảm bảo tổng cơ năng luôn không đổi. Mối quan hệ này là nền tảng cho sự tồn tại và ổn định của dao động điều hòa, thể hiện định luật bảo toàn năng lượng trong cơ học.