Nguyên Hàm Của e Mũ Trừ X (e^-x)

Mô tả sản phẩm

Nguyên hàm của e mũ trừ x (e^-x) là một bài toán cơ bản nhưng rất quan trọng trong giải tích, xuất hiện thường xuyên trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Để tìm nguyên hàm của một hàm số, chúng ta cần tìm một hàm khác mà đạo hàm của nó chính là hàm số ban đầu.

Trước hết, hãy nhớ lại đạo hàm của hàm số mũ cơ bản. Chúng ta biết rằng đạo hàm của e^x theo x là chính nó: d(e^x)/dx = e^x. Mở rộng hơn, nếu có một hàm hợp e^u, trong đó u là một hàm của x, thì đạo hàm của e^u theo x là: d(e^u)/dx = e^u * (du/dx).

Với hàm số e^-x, chúng ta có thể thử "đoán" nguyên hàm dựa trên kiến thức về đạo hàm. Nếu nguyên hàm là F(x), thì d(F(x))/dx = e^-x. Hãy thử với F(x) = e^-x. Lấy đạo hàm của F(x) = e^-x: d(e^-x)/dx = e^-x * d(-x)/dx = e^-x * (-1) = -e^-x. Rõ ràng, kết quả này là -e^-x, không phải e^-x như chúng ta mong muốn.

Để khắc phục điều này, chúng ta cần một dấu âm bổ sung. Vì d(e^-x)/dx = -e^-x, nếu chúng ta lấy đạo hàm của -e^-x, chúng ta sẽ có: d(-e^-x)/dx = - [d(e^-x)/dx] = - (-e^-x) = e^-x. Đây chính xác là hàm số ban đầu của chúng ta!

Do đó, một nguyên hàm của e^-x là -e^-x. Tuy nhiên, khi tìm nguyên hàm, chúng ta luôn phải thêm một hằng số tích phân C, bởi vì đạo hàm của một hằng số luôn bằng 0. Điều này có nghĩa là nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x), thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C bất kỳ.

Vậy, biểu thức nguyên hàm tổng quát của e^-x được viết dưới dạng ký hiệu tích phân là:
∫e^-x dx = -e^-x + C

Một phương pháp chính tắc hơn để tìm nguyên hàm này là sử dụng phương pháp đổi biến (u-substitution):
1. Đặt u = -x.
2. Lấy vi phân hai vế theo x: du/dx = -1, suy ra du = -dx, hay dx = -du.
3. Thay thế vào biểu thức tích phân ban đầu: ∫e^-x dx trở thành ∫e^u (-du).
4. Rút dấu âm ra ngoài: -∫e^u du.
5. Chúng ta biết rằng nguyên hàm của e^u theo u là e^u. Vậy, -∫e^u du = -e^u + C.
6. Cuối cùng, thay u = -x trở lại: -e^-x + C.

Để kiểm tra lại kết quả, chúng ta chỉ cần lấy đạo hàm của nguyên hàm vừa tìm được: d(-e^-x + C)/dx. Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng và đạo hàm hàm hợp, ta có: d(-e^-x)/dx + d(C)/dx = - [d(e^-x)/dx] + 0 = - [e^-x * (-1)] = e^-x. Kết quả này hoàn toàn khớp với hàm số ban đầu, xác nhận nguyên hàm của chúng ta là đúng.

Nguyên hàm của e^-x không chỉ là một bài tập toán học đơn thuần mà còn có ứng dụng rộng rãi trong mô hình hóa các quá trình suy giảm theo cấp số mũ trong vật lý (ví dụ: phóng xạ), kỹ thuật (ví dụ: phân rã tín hiệu), kinh tế (ví dụ: khấu hao tài sản), và xác suất thống kê (ví dụ: phân phối theo cấp số mũ).