Các Dạng Toán Vi-ét Thi Vào Lớp 10 Và Phương Pháp Giải

Mô tả sản phẩm

1. Định lý Vi-ét và ứng dụng trong giải toán

Định lý Vi-ét là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10. Định lý phát biểu rằng: Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁ và x₂ thì:

• Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
• Tích hai nghiệm: x₁ × x₂ = c/a

Định lý này không chỉ giúp tìm nghiệm của phương trình mà còn ứng dụng trong nhiều dạng toán khác nhau.

2. Các dạng toán Vi-ét thường gặp trong đề thi

2.1. Dạng 1: Tính giá trị biểu thức đối xứng

Đây là dạng toán cơ bản nhất, yêu cầu tính giá trị các biểu thức chứa x₁ và x₂. Các biểu thức thường gặp:

• x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
• x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂)
• 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂)

Ví dụ: Cho phương trình x² - 5x + 6 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Tính x₁² + x₂². Giải: Áp dụng Vi-ét, ta có x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = 6 → x₁² + x₂² = 5² - 2×6 = 13.

2.2. Dạng 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Yêu cầu tìm hệ thức giữa x₁ và x₂ không chứa tham số m. Các bước giải:

1. Tính x₁ + x₂ và x₁x₂ theo m
2. Khử m từ hai biểu thức trên

Ví dụ: Cho phương trình x² - (2m+1)x + m² + m = 0. Tìm hệ thức giữa x₁, x₂ không phụ thuộc m. Giải: Ta có x₁ + x₂ = 2m+1, x₁x₂ = m² + m → (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (2m+1)² - 2(m²+m) = 2m² + 2m + 1. Từ x₁ + x₂ = 2m+1 → m = (x₁ + x₂ -1)/2. Thay vào ta được hệ thức cần tìm.

2.3. Dạng 3: Xác định tham số thỏa mãn điều kiện cho trước

Đây là dạng toán phổ biến trong đề thi, yêu cầu tìm m để phương trình thỏa mãn điều kiện về nghiệm. Các bước giải:

1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0)
2. Áp dụng Vi-ét để thiết lập phương trình theo m
3. Giải phương trình và kiểm tra điều kiện

Ví dụ: Tìm m để phương trình x² - (m+3)x + 2m+2 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa x₁² + x₂² = 10. Giải: Δ = (m+3)² - 4(2m+2) ≥ 0 → m² - 2m + 1 ≥ 0 (luôn đúng). Theo Vi-ét: x₁ + x₂ = m+3, x₁x₂ = 2m+2. Ta có x₁² + x₂² = (m+3)² - 2(2m+2) = 10 → m² + 2m - 3 = 0 → m = 1 hoặc m = -3.

2.4. Dạng 4: Lập phương trình bậc hai khi biết nghiệm

Khi biết hai số u, v, ta có thể lập phương trình bậc hai nhận chúng làm nghiệm bằng cách:

• Tính S = u + v, P = u × v
• Phương trình cần tìm là x² - Sx + P = 0

Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là 2+√3 và 2-√3. Giải: S = (2+√3)+(2-√3) = 4, P = (2+√3)(2-√3) = 1 → Phương trình: x² - 4x + 1 = 0.

3. Bài tập vận dụng và lời giải chi tiết

3.1. Bài tập 1

Cho phương trình x² - 2mx + m² - 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² = 4. Giải: Theo Vi-ét: x₁ + x₂ = 2m, x₁x₂ = m² - 1 x₁² + x₂² = (2m)² - 2(m² - 1) = 2m² + 2 = 4 → m² = 1 → m = ±1 Kiểm tra Δ' = m² - (m² - 1) = 1 > 0 ∀m → Cả hai giá trị đều thỏa mãn.

3.2. Bài tập 2

Cho phương trình x² - (2m-1)x + m² - 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn 3x₁x₂ - 5(x₁ + x₂) + 7 = 0. Giải: Theo Vi-ét: x₁ + x₂ = 2m - 1, x₁x₂ = m² - 2 Thay vào điều kiện: 3(m² - 2) - 5(2m - 1) + 7 = 0 → 3m² - 10m + 8 = 0 → m = 2 hoặc m = 4/3 Kiểm tra Δ = (2m-1)² - 4(m²-2) = -4m + 9 ≥ 0 → m ≤ 9/4 → Cả hai giá trị đều thỏa mãn.

4. Kết luận

Các dạng toán về định lý Vi-ét trong đề thi vào lớp 10 rất đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao. Để làm tốt các bài toán này, học sinh cần:

• Nắm vững định lý Vi-ét và các hệ quả
• Thành thạo các phép biến đổi biểu thức đối xứng
• Luyện tập nhiều dạng bài để nhận diện nhanh phương pháp giải
• Chú ý điều kiện có nghiệm của phương trình khi bài toán chứa tham số

Việc ôn luyện kỹ các dạng toán Vi-ét sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi bước vào kỳ thi quan trọng này.

Xem thêm: soạn văn lớp 8 bài lá cờ thêu sáu chữ vàng