Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và ứng dụng

Mô tả sản phẩm

Giới thiệu về cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn là một dãy số có dạng: u₁, u₁q, u₁q², u₁q³,... với công bội q thỏa mãn |q| < 1. Đặc điểm quan trọng nhất của cấp số này là tổng vô hạn các số hạng hội tụ về một giá trị xác định, không tiến ra vô cùng.

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức: S = u₁/(1 - q) Trong đó: - u₁ là số hạng đầu tiên - q là công bội (|q| < 1)

Điều kiện hội tụ của cấp số nhân vô hạn

Để tổng cấp số nhân lùi vô hạn tồn tại, công bội q phải thỏa mãn điều kiện |q| < 1. Nếu |q| ≥ 1, dãy số sẽ phân kỳ và tổng không xác định được.

Chứng minh công thức tổng cấp số nhân

Xét tổng n số hạng đầu: Sₙ = u₁(1 - qⁿ)/(1 - q) Khi n → ∞, vì |q| < 1 nên qⁿ → 0 Do đó: S = lim(Sₙ) = u₁/(1 - q)

Ví dụ minh họa tính tổng cấp số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... Giải: u₁ = 1, q = 1/2 S = 1/(1 - 1/2) = 2 Ví dụ 2: Tính tổng 3 - 1 + 1/3 - 1/9 + ... Giải: u₁ = 3, q = -1/3 S = 3/(1 - (-1/3)) = 9/4

Ứng dụng trong thực tế

1. Trong kinh tế: Tính giá trị hiện tại của dòng tiền vĩnh viễn 2. Trong vật lý: Tính tổng năng lượng trong các hệ dao động 3. Trong toán học: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn

So sánh với cấp số nhân hữu hạn

Cấp số nhân hữu hạn có tổng: Sₙ = u₁(1 - qⁿ)/(1 - q) Khi n → ∞, nếu |q| < 1 thì Sₙ → S = u₁/(1 - q)

Lưu ý khi áp dụng công thức

- Luôn kiểm tra điều kiện |q| < 1 trước khi áp dụng - Xác định chính xác số hạng đầu u₁ - Chú ý dấu của công bội q trong tính toán

Bài tập vận dụng

1. Tính tổng: 5 + 5/3 + 5/9 + 5/27 + ... 2. Biểu diễn số 0.777... dưới dạng phân số 3. Một quả bóng rơi từ độ cao 10m, mỗi lần chạm đất nảy lên 2/3 độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường đi được.

Kết luận

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn là công cụ mạnh mẽ trong nhiều lĩnh vực toán học và ứng dụng thực tế. Hiểu rõ điều kiện áp dụng và cách sử dụng công thức sẽ giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp một cách hiệu quả.

Xem thêm: các vành đai áp nào sau đây được hình thành do động lực