Góc Giữa Hai Mặt Phẳng Trong Hệ Tọa Độ Oxyz: Công Thức và Bài Tập Ứng Dụng

Mô tả sản phẩm

Giới Thiệu Về Góc Giữa Hai Mặt Phẳng Trong Oxyz

Trong hình học không gian, góc giữa hai mặt phẳng là một khái niệm quan trọng giúp xác định vị trí tương đối của chúng. Trong hệ tọa độ Oxyz, việc tính toán góc này dựa trên vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Bài viết này sẽ cung cấp công thức, phương pháp tính và các ví dụ minh họa chi tiết.

Định Nghĩa Góc Giữa Hai Mặt Phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) trong không gian Oxyz được định nghĩa là góc nhọn tạo bởi hai vector pháp tuyến tương ứng của chúng. Nếu gọi:

• n₁ = (A₁, B₁, C₁) là vector pháp tuyến của mặt phẳng (P): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
• n₂ = (A₂, B₂, C₂) là vector pháp tuyến của mặt phẳng (Q): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Thì góc φ giữa (P) và (Q) được tính bằng công thức: cosφ = |n₁·n₂| / (||n₁|| × ||n₂||)

Công Thức Tính Góc Giữa Hai Mặt Phẳng

Dựa vào tích vô hướng của hai vector pháp tuyến, ta có thể triển khai công thức chi tiết: cosφ = |A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂| / √(A₁² + B₁² + C₁²) × √(A₂² + B₂² + C₂²) Sau đó, góc φ được suy ra từ hàm arccos.

Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng:

• (P): 2x - y + 3z - 5 = 0
• (Q): x + 2y - z + 1 = 0

Bước 1: Xác định vector pháp tuyến:

• n₁ = (2, -1, 3)
• n₂ = (1, 2, -1)

Bước 2: Áp dụng công thức: cosφ = |2×1 + (-1)×2 + 3×(-1)| / √(4 + 1 + 9) × √(1 + 4 + 1) = |2 - 2 - 3| / (√14 × √6) ≈ 0.327 Bước 3: φ ≈ arccos(0.327) ≈ 70.9°

Ứng Dụng Thực Tế

Việc xác định góc giữa hai mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong:

• Kiến trúc: Thiết kế góc nghiêng giữa các bề mặt tòa nhà
• Cơ khí: Tính toán góc tiếp xúc giữa các chi tiết máy
• Đồ họa 3D: Xử lý ánh sáng và bóng đổ trên các mặt phẳng

Lưu Ý Khi Tính Toán

1. Luôn lấy giá trị tuyệt đối của tử số để đảm bảo góc nhọn
2. Kiểm tra điều kiện song song hoặc vuông góc trước khi tính góc:
   • Song song: n₁ = k·n₂
   • Vuông góc: n₁·n₂ = 0
3. Đơn vị góc thường dùng là độ (°) hoặc radian (rad)

Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng:

• (P): x + y + z - 3 = 0
• (Q): 2x - y + z - 5 = 0

Bài 2: Cho mặt phẳng (R): 3x + 4z - 7 = 0 và (S): -6x - 8z + 1 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa (R) và (S).

Kết Luận

Việc nắm vững cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong Oxyz là nền tảng quan trọng cho nhiều bài toán hình học không gian. Bằng cách sử dụng vector pháp tuyến và công thức tích vô hướng, bạn có thể dễ dàng xác định góc này và ứng dụng vào các lĩnh vực thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng để thành thạo phương pháp.

Xem thêm: ở thực vật cam khí khổng