Góc Giữa Hai Mặt Phẳng Trong Không Gian Oxyz: Công Thức Và Bài Tập Ứng Dụng

Mô tả sản phẩm

1. Khái Niệm Góc Giữa Hai Mặt Phẳng Trong Oxyz

Trong hình học không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được xác định là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó tại điểm chung. Góc này luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90° và có thể tính toán thông qua vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng.

2. Công Thức Tính Góc Giữa Hai Mặt Phẳng

Giả sử mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến \(\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)\) và mặt phẳng (Q) có vector pháp tuyến \(\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)\). Khi đó, góc φ giữa hai mặt phẳng được tính bằng công thức: \[ \cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{\|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \]

3. Các Trường Hợp Đặc Biệt

• Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau: Góc giữa chúng bằng 0° (cosφ = 1).
• Hai mặt phẳng vuông góc: Góc giữa chúng bằng 90° (cosφ = 0).
• Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành góc nhọn: φ là góc nhọn tính theo công thức trên.

4. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 5 = 0 và (Q): x + 2y - z + 1 = 0. Tính góc giữa chúng.
Giải: - Vector pháp tuyến của (P): \(\vec{n_1} = (2, -1, 3)\) - Vector pháp tuyến của (Q): \(\vec{n_2} = (1, 2, -1)\) - Áp dụng công thức: \[ \cos \phi = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} \approx 0.327 \] - Suy ra φ ≈ 70.9°.

5. Ứng Dụng Trong Thực Tế

Góc giữa hai mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong:

• Kiến trúc: Thiết kế góc nghiêng giữa các bề mặt tường, mái nhà.
• Cơ khí: Tính toán góc tiếp xúc giữa các chi tiết máy.
• Đồ họa 3D: Xác định góc chiếu sáng hoặc góc phản xạ.

6. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): x + y - 2z + 1 = 0 và (Q): 3x - y + z - 4 = 0.
Bài 2: Cho mặt phẳng (R) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (S): x + y + z = 0 một góc 60°. Viết phương trình (R).

7. Lưu Ý Khi Giải Bài Tập

• Luôn kiểm tra điều kiện hai mặt phẳng không song song hoặc trùng nhau trước khi tính góc.
• Sử dụng máy tính bỏ túi để tính chính xác giá trị arccos.
• Chú ý đơn vị góc (độ hoặc radian) tùy theo yêu cầu đề bài.

8. Kết Luận

Việc xác định góc giữa hai mặt phẳng trong Oxyz là kỹ năng quan trọng trong hình học giải tích. Nắm vững công thức và phương pháp giải sẽ giúp bạn ứng dụng linh hoạt vào các bài toán phức tạp hơn như giao tuyến, khoảng cách hoặc thiết diện.

Xem thêm: ý nghĩa chủ yếu của việc chuyển dịch cơ cấu ngành kinh tế nước ta là