Chính Sách Vận Chuyển Và Đổi Trả Hàng
Miễn phí vận chuyển mọi đơn hàng từ 500K
- Phí ship mặc trong nước 50K
- Thời gian nhận hàng 2-3 ngày trong tuần
- Giao hàng hỏa tốc trong 24h
- Hoàn trả hàng trong 30 ngày nếu không hài lòng
Mô tả sản phẩm
Giới Thiệu Về Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn là một dãy số trong đó mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một công bội không đổi (q), với điều kiện |q| < 1. Tổng của chuỗi này hội tụ về một giá trị hữu hạn, được ứng dụng rộng rãi trong toán học và các lĩnh vực khoa học khác.
Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn
Tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu tiên a₁ và công bội q (|q| < 1) được tính bằng:
\[ S = \frac{a_1}{1 - q} \]
Ví dụ: Chuỗi 1 + 0.5 + 0.25 + ... có tổng \( S = \frac{1}{1 - 0.5} = 2 \).
Điều Kiện Hội Tụ Của Chuỗi
Chuỗi chỉ hội tụ khi công bội q thỏa mãn |q| < 1. Nếu |q| ≥ 1, tổng sẽ phân kỳ (tiến ra vô cùng hoặc dao động).
Chứng Minh Công Thức Tổng
Xét chuỗi vô hạn \( S = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ... \). Nhân cả hai vế với q:
\[ qS = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ... \]
Trừ vế theo vế: \( S - qS = a_1 \) → \( S(1 - q) = a_1 \) → \( S = \frac{a_1}{1 - q} \).
Ứng Dụng Thực Tế
Trong Toán Học
- Tính giới hạn của dãy số.
- Giải các bài toán về tích phân hoặc chuỗi Fourier.
Trong Kinh Tế
- Tính giá trị hiện tại của dòng tiền vô hạn (ví dụ: cổ tức).
- Mô hình tăng trưởng kinh tế với tỷ lệ giảm dần.
Trong Vật Lý
- Phân tích dao động tắt dần.
- Tính tổng năng lượng trong mạch điện RLC.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Tính tổng chuỗi \( 8 + 4 + 2 + 1 + ... \).
Giải: \( a_1 = 8 \), \( q = 0.5 \) → \( S = \frac{8}{1 - 0.5} = 16 \).
Ví dụ 2: Một công ty trả cổ tức 10.000đ/năm, tăng 5% hàng năm. Giá trị hiện tại của dòng cổ tức vô hạn là:
\( S = \frac{10.000}{1 - 1.05} \) (Lưu ý: Trường hợp này q > 1 nên chuỗi phân kỳ, cần điều chỉnh mô hình).
Lưu Ý Khi Áp Dụng
- Luôn kiểm tra điều kiện |q| < 1 trước khi tính toán.
- Trong thực tế, nhiều chuỗi chỉ gần đúng vô hạn do giới hạn vật lý.
- Sai số thường xuất hiện khi làm tròn số hạng.
Kết Luận
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là công cụ mạnh mẽ với ứng dụng đa dạng từ lý thuyết đến thực tiễn. Hiểu rõ điều kiện hội tụ và cách áp dụng công thức giúp giải quyết hiệu quả nhiều bài toán phức tạp trong khoa học và đời sống.
Xem thêm: gia tốc của vật dao động điều hòa bằng 0 khi
