Tứ diện đều – Tổng hợp toàn bộ định nghĩa, đặc điểm và công thức bạn cần biết để làm toán hiệu quả

Tứ diện đều đã trở thành một biểu tượng của sự đối xứng và hoàn hảo. Với cấu trúc độc đáo được tạo nên từ bốn mặt là những tam giác đều bằng nhau, đây là khối đa diện đơn giản nhất nhưng cũng ẩn chứa nhiều tính chất toán học vô cùng thú vị. Hãy cùng FPT Shop khám phá chi tiết về hình khối đặc biệt này qua bài viết dưới đây.

Giới thiệu đôi nét về tứ diện

Trong lĩnh vực hình học, tứ diện là một trong những hình đa diện cơ bản nhưng lại chứa đựng nhiều tính chất hấp dẫn. Một tứ diện có bốn mặt, tất cả đều là tam giác, sáu cạnh và bốn đỉnh. Đây là loại hình học không gian đơn giản nhưng lại có cấu trúc rất phong phú.

Tứ diện được phân thành nhiều loại khác nhau, trong đó, tứ diện đều là một ví dụ điển hình. Trong tứ diện đều, tất cả các mặt đều là tam giác đều và tất cả các cạnh đều có độ dài bằng nhau. Sự đồng nhất này tạo ra hình học không gian có tính đối xứng cao, giúp nó trở thành một đối tượng nghiên cứu quan trọng trong toán học.

Tính đối xứng của tứ diện đều không chỉ làm cho nó trở nên đẹp mắt mà còn tạo ra nhiều ứng dụng thú vị trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, trong lĩnh vực vật lý, tứ diện đều được sử dụng để mô tả cấu trúc của một số phân tử. Trong toán học, nó là một ví dụ điển hình cho các nghiên cứu về hình học không gian và đại số.

Bên cạnh đó, tứ diện cũng có thể được sử dụng trong thiết kế và kiến trúc, nơi tính đối xứng và sự đơn giản của nó được đánh giá cao. Trong nghệ thuật, tứ diện được sử dụng để tạo ra các tác phẩm có tính đối xứng và cân đối, mang lại cảm giác thẩm mỹ và sự hài hòa.

Những đặc điểm của hình tứ diện đều

Tính chất đối xứng hoàn hảo

Đây là đặc điểm nổi bật và giá trị nhất của tứ diện đều.

• Sự đồng nhất tuyệt đối: Mọi đỉnh, mọi cạnh, mọi mặt của tứ diện đều đều "bình đẳng" với nhau. Điều này có nghĩa là nếu bạn xoay hình khối này theo một cách phù hợp, một đỉnh bất kỳ có thể thay thế vị trí cho một đỉnh khác mà hình khối không hề thay đổi.
• Có các trục đối xứng: Tứ diện đều có tổng cộng 7 trục đối xứng.
• Có các mặt phẳng đối xứng: Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng. Mỗi mặt phẳng này đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện.

Các góc đặc biệt (Quan trọng trong tính toán)

Tứ diện đều tạo ra các góc có số đo không đổi, là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán.

• Góc ở mỗi đỉnh của mặt: Vì các mặt là tam giác đều nên góc này luôn bằng 60°.
• Góc nhị diện (góc giữa hai mặt kề nhau): Đây là một hằng số rất đặc biệt. Góc giữa hai mặt bất kỳ của tứ diện đều luôn bằng arccos(1/3) ≈ 70.53°.
• Góc giữa cạnh và mặt đối diện: Góc tạo bởi một cạnh bất kỳ và mặt phẳng không chứa cạnh đó luôn bằng arccos(1/√3) ≈ 54.74°.

Chiều cao và các tâm đặc biệt

• Đường cao: Đường cao của tứ diện đều là đoạn thẳng hạ từ một đỉnh và vuông góc với mặt đối diện.
• Tính chất: Chân đường cao hạ từ một đỉnh xuống mặt đối diện trùng với trọng tâm (đồng thời là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp) của mặt đáy đó.

• Sự trùng nhau của các tâm: Đây là một tính chất vô cùng đặc biệt! Bốn điểm quan trọng của tứ diện đều trùng nhau tại một điểm duy nhất, gọi là tâm của tứ diện đều. Bốn điểm đó là:
  • Trọng tâm: Giao điểm của các đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện.
  • Tâm mặt cầu ngoại tiếp: Điểm cách đều 4 đỉnh.
  • Tâm mặt cầu nội tiếp: Điểm cách đều 4 mặt.
  • Giao điểm của 4 đường cao.
• Tỷ lệ vàng trên đường cao: Tâm của tứ diện đều chia mỗi đường cao theo tỷ lệ 3:1, kể từ đỉnh. Phần lớn hơn (3 phần) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp (R), phần nhỏ hơn (1 phần) là bán kính mặt cầu nội tiếp (r). Do đó, ta luôn có R = 3r.

Cách vẽ hình tứ diện đều chi tiết

Cách vẽ hình tứ diện đều sẽ trở nên thật đơn giản khi bạn nắm vững quy tắc biểu diễn không gian trên mặt phẳng. Chỉ với 3 bước logic dưới đây, bạn sẽ dễ dàng phác họa một khối tứ diện trực quan và chính xác.

• Bước 1: Vẽ mặt đáy của tứ diện.

Để tạo cảm giác về chiều sâu, bạn hãy bắt đầu bằng cách vẽ một tam giác (ví dụ, tam giác BCD) trông như đang nằm trên một mặt phẳng. Đây chính là mặt đáy của tứ diện. Ba cạnh BC, CD và DB sẽ là các cạnh đáy của hình.

• Bước 2: Xác định đỉnh còn lại của tứ diện.

Bây giờ, hãy chọn một điểm duy nhất không thuộc mặt phẳng chứa tam giác vừa vẽ (thường là chấm một điểm A ở phía trên mặt đáy). Điểm A này sẽ là đỉnh thứ tư cũng là đỉnh chính của hình chóp, quyết định chiều cao và hình dáng tổng thể của tứ diện.

• Bước 3: Nối đỉnh với đáy để hoàn thiện hình khối.

Cuối cùng, bạn hãy dùng thước kẻ để nối đỉnh A với ba đỉnh của mặt đáy (A nối với B, A nối với C, A nối với D).

 - Lưu ý quan trọng: Những cạnh nào bị các mặt khác che khuất (cạnh không nhìn thấy được từ góc nhìn của bạn), hãy biểu diễn chúng bằng nét đứt. Những cạnh nhìn thấy rõ, hãy vẽ bằng nét liền. Thao tác này sẽ tạo ra các mặt tam giác còn lại và hoàn thiện một khối tứ diện 3D trực quan.

Những công thức tính liên quan đến hình tứ diện đều

Đối với hình tứ diện

Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh lần lượt là BC = a, AC = b, AB = c, AD = d, BD = e, CD = f và thể tích tứ diện là V.

• Công thức tính góc giữa 2 cạnh đối: cos(AB, CD) = (a² + d² – b² – e²)/(2cf).
• Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau: d(AB,CD) = 12V/√[4c²f²- (a²+ d²- b²-e²)²].
• Công thức tính góc nhị diện: Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích của 2 tam giác BCD và ACD: cos[CD] = f2(a²+ e²+ b² + d² - f² -2c²) - (a²- e²)(b²- d²)/16S1S2.
• Công thức xác định đường vuông góc chung: Với AB và CD cắt nhau tại I: k = f²(2c²+ b+ d² - a² - e²)+ (b² - d²)(a²- e²- b² + d²)/[4c²f² - (a²+ d²+ b² - e²)².
• Thể tích V tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC = c và các góc BSC = α , ASC= β , ASB= γ: V = abc/6√[1+ 2cosα.cosβ.cosγ- cos2α- cos2β-cos2γ].

Đối với hình tứ diện đều

• Diện tích bề mặt: S = √3/4 x a2.
• Diện tích toàn phần: S = √3a².
• Độ dài đường cao: h = √6/3 x a.
• Khoảng cách từ trọng tâm tới đỉnh: l = √6/4 x a.
• Khoảng cách giữa 2 cạnh chéo nhau: d = √2/2 x a.
• Thể tích: V = √2/12 x a3.
• Góc giữa cạnh và mặt phẳng không chứa cạnh: arccos √3/ 3 = arctan√2.
• Góc nhị diện: arccos1/3 = arctan2√2.
• Góc giữa 2 đường thẳng nối trọng tâm tứ diện tới 2 đỉnh bất kì: arccos-1/3 = 2arctan√2.
• Góc khối: arccos2327.
• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện: R = √6/4a.
• Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện: r = 13R = a/√24.
• Bán kính mặt cầu bàng tiếp tứ diện: re = a/6.

Tạm kết

Qua những phân tích trên, hy vọng rằng khối tứ diện đều đã trở nên gần gũi và không còn là một khái niệm xa lạ. Việc ghi nhớ các đặc điểm và công thức quan trọng của nó sẽ là công cụ đắc lực, giúp bạn tự tin xử lý các dạng bài tập và thêm yêu thích môn hình học không gian.

Để việc học tập và khám phá các mô hình không gian trở nên trực quan hơn, một chiếc máy tính bảng Lenovo chính là công cụ hỗ trợ đắc lực. Hãy tham khảo ngay các mẫu máy tính bảng Lenovo chính hãng tại FPT Shop với hiệu năng mạnh mẽ, màn hình sắc nét và nhiều ưu đãi hấp dẫn dành riêng cho học sinh, sinh viên!

• Máy tính bảng Lenovo

Xem thêm:

• Góc học tập: Hình elip là hình gì? Mách bạn các đặc điểm, phương trình và công thức toán học của hình elip
• Bật mí hình chóp tam giác đều là gì? Mách bạn tính chất, các công thức tính toán trong hình chóp tam giác đều